Question

7．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为$\widehat{BF}$的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6
（1）求证：AE=BE；
（2）求DE、BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AF，根据圆周角定理求得；
（2）设DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式为（6-x）（6+x）=32，由（1）知BE=AE=6-2=4，根据Rt△BDE中的勾股定理求解．

解答 （1）证明：连AF，
∵A是$\widehat{BF}$的中点，
∴∠ABE=∠AFB．
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB．
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC．
∴∠BAE=∠ACB．
∴∠ABE=∠BAE．
∴AE=BE．

（2）解：设DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，
则（6-x）（6+x）=32，
解得x=2，即DE的长为2；
由（1）得BE=AE=6-2=4，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查的是圆周角定理，勾股定理，垂径定理的运用．牢固掌握该定理可在综合题型中灵活运用．