Question

10．如图，菱形ABCD的边长是4，∠B=120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则PE+PD的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据菱形的性质可得点B与点D关于直线AC对称，连接BE与AC相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD的最小值，连接BD，根据菱形的性质求出∠BCD=60°，从而判断出△BCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出BE的长度即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
如图，连接BE与AC相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD的最小值，
连接BD，∵∠B=120°，
∴∠BCD=180°-120°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD的中点，
∴BE=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
即PE+PD的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并准确确定出点P的位置是解题的关键．