Question

15．如图，A、B是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S_△ADC=9，则k=6．

Answer 1

分析 先作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据得A、B两点的横坐标求得纵坐标，再证明△CEB∽△CDA，利用相似三角形的性质得出DE=CE，由OD：OE=a：2a=1：2，得出OD=DE，所以D是OC的三等分点，进而得到S_△AOD=$\frac{1}{3}$S_△AOC=3，然后利用反比例函数系数k的几何意义，求得k的值．

解答 解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵A、B是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是$\frac{k}{a}$、$\frac{k}{2a}$，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BE}{AD}$=$\frac{\frac{k}{2a}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=CE，
∵OD：OE=a：2a=1：2，
∴OD=DE，
∴OD=$\frac{1}{3}$OC，
∴S_△AOD=$\frac{1}{3}$S_△AOC=$\frac{1}{3}$×9=3，
∴$\frac{1}{2}$|k|=3，即k=±6，
而k＞0，
∴k=6．
故答案为：6．

点评 本题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义以及相似三角形的判定与性质，解题时注意：从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．