Question

20．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE=BD，过点D，E引直线交AC于点F．
（1）请说明△ADF和△DFC是等腰三角形．
（2）判断AF与FC的数量关系，说明理由．

Answer 1

分析 根据等边对等角可得∠E=∠BDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC=2∠BDE，从而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根据等角对等边求出DF=FC，再根据等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根据等角对等边求出DF=AF，即可得到AF=FC．

解答 （1）证明：∵BE=BD，
∴∠E=∠BDE，
∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠BDE，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠C=∠CDF，
∴DF=FC，
∴△DFC为等腰三角形；
∵AD为BC边上的高，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∠C+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF，
∴△ADF是等腰三角形；

（2）解：由（1）知AF=DF=FC．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，本题的关键是得到∠FDC=∠C．．