Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点A，过点B作BD⊥MN，垂足为D，若AD=4，DB=2，则CD=3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分点C、D位于AB的异侧和同侧两种情况考虑，过点A作AE⊥CD于点E，利用勾股定理及等腰直角三角形的性质求出AB、AC、DE、CE的长度，再由CD=CE+DE及CD=DE-CE可求出CD的长度，此题得解．

解答 解：当点C、D位于AB的异侧时，过点A作AE⊥CD于点E，如图1所示．
∵BD⊥MN，
∴∠ADB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴点A、B、C、D共圆．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=4，DB=2，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+D{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$．
∵∠ADE=∠ABC=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$．
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=$\sqrt{10}$，AE=2$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴CD=CE+DE=3$\sqrt{2}$；
当点C、D在AB的同侧时，如图2所示．
同理可求出：DE=2$\sqrt{2}$、CE=$\sqrt{2}$，
∴CD=DE-CE=$\sqrt{2}$．
综上所述：CD的长为3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理、圆周角定理以及等腰直角三角形的性质，分点C、D位于AB的异侧和同侧两种情况考虑是解题的关键．