Question

17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=$\frac{1}{2}$CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．

解答 （1）
证明：连接OA．
∵AE是⊙O切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm． 
又∵OF⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=3cm． 
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F}^{2}+D{F}^{2}}$=5cm，
即⊙O的半径为5cm．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．