题目内容

12．阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：
传说古希腊毕达哥拉斯（Pythagonas，约公元570年-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6，10…由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥1）表示．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：

（1）任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
（2）连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

分析 （1）第n个三角形数$\frac{n（n+1）}{2}$乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分别用n表示出第n、n+1个三角形数，进一步相加整理得出答案即可．

解答 证明：（1）∵$\frac{n（n+1）}{2}$×8+1=4n2+4n+1=（2n+1）2，
∴任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；

（2）∵第n个三角形数为$\frac{n（n+1）}{2}$，第n+1个三角形数为$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
∴这两个三角形数的和为：$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=$\frac{（n+1）（2n+2）}{2}$=（n+1）2，
即连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

点评 此题考查图形与数字的变化规律及完全平方数，用字母表示出第n个三角形数，利用完全平方公式因式分解是解决问题的关键．

练习册系列答案
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10．下列各式计算正确的是（　　）
A．a3•a=a4B．2a3+a3=3a6C．（-a2b）3=a6b3D．（b+2a）（2a-b）=b2-4a2
3．在矩形ABCD上有一个动点P，点P沿AD-DC-CA运动，并且不与点A重合，连接BP，以BP为直角边作等腰直角三角形BPQ，AB=6，AD=4．

（1）当点P沿AD-DC-CA运动时，求出等腰直角三角形BPQ面积的最大值；
（2）当点P在AD上运动时，△BPQ的边PQ与DC交于点E，如图1所示，若AP：AD=1：2时，AB：PD的值为3；若AP：AD=1：n时，AB：PD的值为$\frac{3n}{2（n-1）}$；
（3）如图2所示，当点P（不与点D、C重合）在DC上运动时，请你判断梯形ABPD的面积是否可为△BPQ面积的4倍？若可以，请求出PC的长度；若不可以，请说明理由；
（4）如图3所示，当点P运动到CA的延长线上时，请你直接写出BP：PF的值．
20．如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度（即tanα）为1：1.2，坝高10米，为了提高坝的防洪能力，由相关部门决定加固堤坝，要求将坝顶CD加宽2米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为1000米．
（1）求完成该工程需要多少土方？
（2）该工程由甲、乙两工程队同时合作完成，按计划需20天，准备开工前接到上级要求，汛期可能提前，要求两工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？
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17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
4．如图，某学校数学兴趣小组想了解“第25届世界技巧锦标赛倒计时”广告牌的高度，他们在A点处测得广告牌底端C点的仰角为30°，然后向广告牌前进10m到达点B处，又测得C点的仰角为60°．请你根据以上数据求广告牌底端C点离地面的高度．（结果保留根号）
1．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．如果BF=a，那么PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（用含a的代数式表示）．
2．要使分式$\frac{-5}{x-1}$有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1B．x＞1C．x＜1D．x≠-1

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