Question

9．无锡某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据：月销售量=原销售量+50×$\frac{原售价-实际售价}{10}$，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售，列一元一次不等式组求解即可得x的取值．
（3）根据：总利润=每台利润×销售量，列出函数关系式，将函数关系式配方，即可求出最大w．

解答 解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×$\frac{400-x}{10}$，
化简得：y=-5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则$\left\{\begin{array}{l}x≥300\\-5x+2200≥450\end{array}$，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）；

（2）W=（x-200）（-5x+2200），
整理得：W=-5（x-320）²+72000．
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
答：售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．

点评 本题主要考查对于二次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识，解题的关键是能够从实际问题中整理出二次函数模型．