题目内容
【题目】如图，已知二次函数
的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为
，对称轴是直线
．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且
，求点P的坐标；
（3）如图，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当
，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）线段PQ的长是定值，定值为7
【解析】
（1）由点A的坐标为
，对称轴是直线
，即可得出方程组，解方程组即可求出二次函数的表达式；
（2）设P（x，
），在y轴上取点D，，使CD=CA，可求得D（0，9），故∠ACO=2∠ADO，故∠ADO=∠PAB，所以tan∠ADO=tan∠PAB，列出方程，求出x的值即可；
（3）连接AP,由△ABM与△PQM的面积相等，可得△ABP与△PQA的面积相等，故BQ∥AP，故∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，由等腰三角形的判定可得AM=PM,BM=QM，故AQ=PB，根据SAS可证△ABP≌△PQA，即可得出答案．
（1）∵点A的坐标为，对称轴是直线．
∴
∴
∴
（2）设P（x，），
当x=0时，
∴C（0，4）
∵A(-3，0)C（0．4）
∴OA=4,OC=4
∴AC=5
在y轴上C的上方取点D，使CD=CA=5，
∴OD=OC+CD=4+5=9
∴D（0，9），
连结AD，
∵CD=CA=5，
∴∠DAC-∠ADC
∴∠ACO=2∠ADO，
∴∠ADO=∠PAB，
∴tan∠ADO=tan∠PAB，
∴
，
∴
∴P（3，2）或（5，
）
（3）线段PQ的长是定值，为7．
连接AP
∵△ABM与△PQM的面积相等
∴△ABP与△PQA的面积相等
∴BQ∥AP
∴∠BQA=∠PAQ，∠PBQ=∠APB，
∵∠PBQ＝∠AQB，
∴∠BQA=∠PAQ=∠PBQ=∠APB，
∴AM=PM,BM=QM
∴AM=PM,BM=QM
∴AM+MQ=PM+BM
∴AQ=PB
∵∠QAP＝∠BPA，AP=AP
∴△ABP≌△PQA
∴PQ=AB=7．
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