Question

6．（1）阅读理解
已知：如图1，△ABC中，AD是中线，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F．求证：EF∥BC．
证明：如图2，EF交AD于G，过P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，
在△ABD中，由PM∥BD，得到$\frac{PM}{BD}$=$\frac{AP}{AD}$，同理$\frac{PN}{DC}$=$\frac{AP}{AD}$，
因为BD=CD，所以PM=PN．
在△FBC中，由PM∥BC，所以$\frac{PM}{BC}$=$\frac{PF}{CF}$，同理$\frac{PE}{EB}$=$\frac{PN}{BC}$∴$\frac{PF}{FC}$=$\frac{PE}{BE}$∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{PF}{PC}$，
∵∠EPF∠BPC，所以△EPF∽△CPB，所以∠FEP=∠PBC，所以EF∥BC．
（2）逆向思考
在△ABC中，D在BC上，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F，如果EF∥BC．那么D是BC中点．请你给出证明．
（3）知识应用
①如图3直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，AB在直线g上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出线段AB的中点．并作简要的画图说明．
②如图4直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，点P不在这些直线上，点A在直线g上，点B在直线c上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出过点P的直线PQ平行于AB．并作简要的画图说明．

Answer 1

分析 （2）根据相似三角形的性质可得$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$，$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FE}{BC}$，$\frac{FE}{BC}$=$\frac{PF}{PC}$，$\frac{PF}{PC}$=$\frac{FG}{DC}$，由此即可得到BD=CD；
（3）①结合（2）中的结论，可在直线c上取一点C，连接AC交直线e于点E，连接BC交直线e于点D，连接AD、BE，交于点F，连接CF并延长，交直线g于点G，如图3，点G即为AB的中点；②结合（1）中的结论，可连接BP并延长，交直线g于点C，设AB与直线e的交点为D，连接CD、AP，交于点E，连接BE并延长，交直线g于点Q，过点P、Q作直线PQ，如图4，直线PQ即为所求作．

解答 （2）证明：设EF交AD于G，如图1．
∵FG∥BD，
∴△AFG∽和△ABD，
∴$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$．
同理：$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FE}{BC}$，$\frac{FE}{BC}$=$\frac{PF}{PC}$，$\frac{PF}{PC}$=$\frac{FG}{DC}$，
∴$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FE}{BC}$=$\frac{PF}{PC}$=$\frac{FG}{DC}$，
∴BD=CD；

（3）解：①在直线c上取一点C，连接AC交直线e于点E，连接BC交直线e于点D，连接AD、BE，交于点F，
连接CF并延长，交直线g于点G，如图3，点G即为AB的中点；

②连接BP并延长，交直线g于点C，设AB与直线e的交点为D，连接CD、AP，交于点E，
连接BE并延长，交直线g于点Q，过点P、Q作直线PQ，如图4，直线PQ即为所求作．

点评 本题是一道阅读理解题，主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，考查了动手能力以及运用已有知识解决问题的能力，是一道好题．