Question

16．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．
（1）求证：DE=DC；
（2）如果BE²=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．

Answer 1

分析 （1）过D作DG⊥BC于G，构造成矩形，然后通过三角形全等得到结论．
（2）根据等腰三角形的性质三线合一，证得线段的垂直平分线，由等边对等角得到∠FEC=∠FCE，通过三角形相似得到∠BEF=∠FCE，于是得出∠BEF=∠CEF．

解答 （1）证明：过D作DG⊥BC于G，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴∠ADG=90°，DG=AB，
∵∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△AED与△GCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DGC}\\{AD=DG}\\{∠ADE=∠GDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GCD，
∴DE=CD；

（2）由（1）知：DE=CD，
∵DF平分∠EDC，
∴DF⊥CE，
∴EF=CF，
∴∠FEC=∠FCE，
∵BE²=BF•BC，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{BC}{BE}$，∵∠B=∠B，
∴△EFB∽△CEB，
∴∠BEF=∠FCE，
∴∠BEF=∠CEF．

点评 本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，辅助线的作法是解题的关键．