Question

1．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点（点P与点A、B、C不重合），有下列结论：①当弦PB最长时，PA=PC；②当∠ACP=30°时，弦PB最长；③当PO⊥AB时，∠ACP=30°；④当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正确．根据最长的弦是直径，再根据垂径定理即可作出判断．
②错误．见图2可以说明．
③正确．根据垂径定理OP垂直平分AB，所以点C在直线OP上，由此即可证明．
④正确．根据题意点P只有在$\widehat{AC}$上，根据垂径定理即可解决问题．

解答 解：①正确．理由如下，
如图1中，

∵PB是最长的弦，
∴PB是直径，
∵AB=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CB}$，
∴PB⊥AC，
∴$\widehat{PA}$=$\widehat{PC}$，
∴PA=PC．
②错误，如图2中，∠PAC=30°，显然PB不是最长的弦．

③正确．如图2中，∵OP⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴OP经过点C，
∴PC平分∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACP=30°．
④正确．如图1中，∵△PAC是等腰三角形，
∴点P只有在$\widehat{AC}$上，
∵PA=PC，
∴$\widehat{PA}$=$\widehat{PC}$，
∴OP⊥AC．
故①③④正确，
故选C．

点评 本题考查三角形的外接圆、外心、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用垂径定理，掌握弧相等所对的弦相等，属于中考常考题型．