Question

4．如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）相交于点P（1，m ）．
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（2，1）；
（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，$\frac{5}{3}$），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；
（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，于是得到PA=1，OA=2，根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ，根据全等三角形的性质得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到结论；
（3）设抛物线的函数解析式为y=ax²+bx+c，把P、Q、N（0，$\frac{5}{3}$）代入y=ax²+bx+c，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于点A（1，m），
∴m=2，
把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，
解得：k=1；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，
∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，
∴直线y=x垂直平分PQ，
∴OP=OQ，
∴∠POA=∠QOB，
在△OPA与△OQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠OBQ}\\{∠POA=∠QOB}\\{OP=OQ}\end{array}\right.$，
∴△POA≌△QOB，
∴QB=PA=1，OB=OA=2，
∴Q（2，1）；
故答案为：2，1；

（3）设抛物线的函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，$\frac{5}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=a+b+c}\\{1=4a+2b+c}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=1}\\{c=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+x+$\frac{5}{3}$，
∴对称轴方程x=-$\frac{1}{-\frac{2}{3}×2}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．