Question

6．如图，已知，四边形ABCD，P，Q在AB、AD的延长线上，PM，QM分别平分∠APC和∠AQC．
（1）若∠ADC=∠ABC=90°，求证：PM⊥QM；
（2）若∠A+∠DCB=180°，则PM⊥QM还成立啊？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接PQ，由∠ADC=∠ABC=90°，于是得到∠PDQ=∠QBP=90°，根据PM，QM分别平分∠APC和∠AQC，于是得到∠1=∠2=∠4，由于∠1+∠2+∠3+∠4=90°，推出∠2+∠3+∠4+∠5=90°，即可得到结论；
（2）PM⊥QM，根据PM，QM分别平分∠APC和∠AQC，得到∠APC=2∠4，∠AQC=2∠2，根据三角形的内角和得到∠A+2∠2+2∠4+∠3+∠5=∠QCP+∠3+∠5=180°，由已知条件∠3+∠5+2∠2+2∠4+∠3+∠5=180°，于是得到∠3+∠2+∠4+∠5=90°，于是得到结论．

解答 解：（1）连接PQ，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠PDQ=∠QBP=90°，∵∠DCQ=∠BCP，
∴∠DQC=∠BPC，
∵PM，QM分别平分∠APC和∠AQC，
∴∠1=∠2=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3+∠4+∠5=90°，
∴∠M=90°，
∴PM⊥QM；

（2）PM⊥QM，
理由：∵PM，QM分别平分∠APC和∠AQC，
∴∠APC=2∠4，∠AQC=2∠2，
∵∠A+2∠2+2∠4+∠3+∠5=∠QCP+∠3+∠5=180°，
∵∠A+∠BCD=180°，∠BCD=∠PCQ，
∴∠A=∠3+∠5，
∴∠3+∠5+2∠2+2∠4+∠3+∠5=180°，
∴∠3+∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠M=90°，
∴PM⊥QM．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，垂直的定义，正确作出辅助线是解题的关键．