Question

18．已知点A（-4，a），B（-1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若S_△PAC=2S_△PBD，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后把点A（-4，a）代入可计算出a的值，然后把A、B的坐标代入一次函数y=kx+b，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当-4＜x＜-1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（3）设P点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{5}{2}$），利用三角形面积公式可得到$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（t+4）=2×$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$），解方程得到t=-2，从而可确定P点坐标．

解答 解：（1）把B（-1，2）代入y=$\frac{m}{x}$（m≠0，x＜0）得，2=$\frac{m}{-1}$，
解得m=-2，
所以反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$（m≠0，x＜0）；
把A（-4，a）代入y=-$\frac{2}{x}$（m≠0，x＜0）得，a=-$\frac{2}{-4}$=$\frac{1}{2}$，
把A（-4，$\frac{1}{2}$），B（-1，2）代入y=kx+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴所以一次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集当为-4＜x＜-1；

（3）连接PC、PD，如图，
设P点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t+$\frac{5}{2}$）．
∵S_△PAC=2S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（t+4）=2×$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{1}{2}$t-$\frac{5}{2}$），
解得t=-2，
∴P点坐标为（-2，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．