题目内容

7．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，过点P作BC的平行线交AB，AC分别于点E，F，作PD⊥BC于点D．给出下列三个结论：
①∠BPC=$\frac{1}{2}$∠A；②以点E为圆心，EB为半径的圆与以点F为圆心、FC为半径的圆相切；③连接AP，设PD=m，AE-AF=n，则S△AEF=mn，
其中正确的个数是（　　）
A．3B．2C．1D．0

分析 由角平分线和三角形的外角性质得出①正确；
由FC≠FP得出以点E为圆心，EB为半径的圆与以点F为圆心、FC为半径的圆不相切，得出②不正确；
通过计算△AEF的面积得出③不正确．

解答 解：①正确；
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∠PCD=∠CBP+∠BPC，
∴2（∠CBP+∠BPC）=∠ABC+∠BAC，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴①正确；
②不正确；
∵FC≠FP，
∴以点E为圆心，EB为半径的圆与以点F为圆心、FC为半径的圆不相切，
∴②不正确；
③不正确；
∵△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE•PD-$\frac{1}{2}$AF•PD=$\frac{1}{2}$mn，
∴③不正确；
正确的个数有1个．
故选：C．

点评 本题考查了切线的判定、角平分线、三角形的外角性质、三角形面积的计算；熟练掌握角平分线的性质和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

练习册系列答案
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