Question

19．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-x+b交折线OAB于点E．
（1）若直线经过点C时，则b=2；若直线经过点A时，则b=6；若直线经过点B时，则b=8．
（2）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，试探究四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标以及矩形的性质即可得出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出当直线分别过点C、A、B时b的值；
（2）分点E在OA或AB上考虑，当点E在OA上，即2＜b≤6时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点E的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S关于b的函数关系式；当点E在AB上，即6＜b＜8时，找出点F的坐标，利用分割图形求面积法即可找出S关于b的函数关系式；
（3）依照题意画出图形，找出两图形重叠部分为矩形，根据矩形的面积公式即可得出重叠部分的面积，此题得解．

解答 解：（1）∵A（6，0），C（0，2），四边形OABC是矩形，
∴B（6，2）．
当直线经过点C时，有2=b；
当直线经过点A时，有0=-6+b，解得：b=6；
当直线经过点B时，有2=-6+b，解得：b=8．
故答案为：2；6；8．
（2）当点E在OA上，即2＜b≤6时，如图1所示．
当y=0时，有0=-x+b，解得：x=b，
∴E（b，0）．
∴S=$\frac{1}{2}$OC•OE=$\frac{1}{2}$×2×b=b；
当点E在AB上，即6＜b＜8时，如图2所示．
设直线DE与x轴交于点F，则F（b，0），
AF=AE=b-6，
∴S=$\frac{1}{2}$OF•（OC-AE）=$\frac{1}{2}$×b×[2-（b-6）]=-$\frac{1}{2}$b²+4b．
综上可知：S=$\left\{\begin{array}{l}{b（2＜b≤6）}\\{-\frac{1}{2}{b}^{2}+4b（6＜b＜8）}\end{array}\right.$．
（3）依照题意，画出图形，如图3所示．
根据对称可知：点C′（b-2，b），点O′（b，b），点B′（b-2，6-b），点A′（b，6-b），
∴矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O₁A₁B₁C₁，
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分为以OC、O′C′的长度为边长的矩形．
∴S_重合=OC•O′C′=2×2=4．
故当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O₁A₁B₁C₁，四边形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不变化，且重叠的面积为4．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出b的值；（2）分点E在OA或AB上考虑；（3）找出重叠部分图形的形状．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．