Question

1．如图，直线m的表达式为y=-3x+3，且与x轴交于点B，直线n经过点A（4，0），且与直线m交于点C（t，-3）
（1）求直线n的表达式．
（2）求△ABC的面积．
（3）在直线n上存在异于点C的另一点P，使△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把C点坐标代入直线m，可求得t，再由待定系数法可求得直线n的解析式；
（2）可先求得B点坐标，则可求得AB，再由C点坐标可求得△ABC的面积；
（3）由面积相等可知点P到x轴的距离和点C到y轴的距离相等，可求得P点纵坐标，代入直线n的解析式可求得P点坐标．

解答 解：（1）∵直线m过C点，
∴-3=-3t+3，解得t=2，
∴C（2，-3），
设直线n的解析式为y=kx+b，
把A、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1.5}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线n的解析式为y=1.5x-6；
（2）在y=-3x+3中，令y=0，可得0=-3x+3，解得x=1，
∴B（1，0），且A（4，0），
∴AB=4-1=3，且C点到x轴的距离h=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×3×3=4.5；
（3）由点P在直线n上，故可设P点坐标为（x，1.5x-6），
∵S_△ABC=S_△ABP，
∴P到x轴的距离=3，
∵C、P两点不重合，
∴P点的纵坐标为3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
∴P点坐标为（6，3）．

点评 本题主要考查直线的交点问题，掌握两直线的交点坐标满足每条直线的解析式是解题的关键．