Question

17．阅读理解题：
学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2$\sqrt{2}$=（1+$\sqrt{2}$）²，我们来进行以下的探索：
设a+b$\sqrt{2}$=（m+n$\sqrt{2}$）²（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b$\sqrt{2}$=m²+2n²+2mn$\sqrt{2}$，∴a=m+2n²，b=2mn
，这样就得出了把类似a+b$\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法．
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a-b$\sqrt{5}$=（m-n$\sqrt{5}$）²，用含m，n的式子分别表示a，b，得a=m²+5n²，b=2mn；
（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：9-4$\sqrt{5}$=（2-1$\sqrt{5}$）²
（3）a-4$\sqrt{5}$=（m-n$\sqrt{5}$）²且a，m，n都为正整数，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式把（m-n$\sqrt{5}$）²展开即可得到用含m，n的式子分别表示出a，b；
（2）利用（1）中的表达式，令m=2，n=1，则可计算出对应的a和b的值；
（3）利用（1）的结果得到2mn=4，则mn=2，再利用m，n都为正整数得到m=2，n=1或m=1，n=2，然后计算对应的a的值即可．

解答 解：（1）∵a-b$\sqrt{5}$=（m-n$\sqrt{5}$）²，
∴a-b$\sqrt{5}$=m²-2$\sqrt{5}$mn+5n²，
∴a=m²+5n²，n=2mn；
（2）取m=2，n=1，
则a=4+5=9，b=4；
（3）∵2mn=4，
∴mn=2，
而m，n都为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2，
当m=2，n=1时，a=9；
当m=1，n=2时，a=21．
即a的值为9或21．
故答案为m²+5n²，2mn；9，4，2，1．

点评 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．