Question

5．在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A₁，按如图方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₁C₂…，A₁、A₂、A₃…在直线y=x+1上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S₁、S₂、S₃、…，则S₅的值为128．

Answer 1

分析 结合正方形的性质结合直线的解析式可得出：A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…，结合三角形的面积公式即可得出：S₁=$\frac{1}{2}$$O{{C}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}{C}_{1}{{C}_{2}}^{2}$=2，S₃=$\frac{1}{2}{C}_{2}{{C}_{3}}^{2}$=8，…，根据面积的变化可找出变化规律“S_n=2^2n-3（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：令一次函数y=x+1中x=0，则y=1，
∴点A₁的坐标为（0，1），OA₁=1．
∵四边形A_nB_nC_nC_n-1（n为正整数）均为正方形，
∴A₁B₁=OC₁=1，A₂B₂=C₁C₂=2，A₃B₃=C₂C₃=4，…．
令一次函数y=x+1中x=1，则y=2，
即A₂C₁=2，
∴A₂B₁=A₂C₁-A₁B₁=1=A₁B₁，
∴tan∠A₂A₁B₁=1．
∵A_nC_n-1⊥x轴，
∴tan∠A_n+1A_nB_n=1．
∴A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…．
∴S₁=$\frac{1}{2}$$O{{C}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}{C}_{1}{{C}_{2}}^{2}$=2，S₃=$\frac{1}{2}{C}_{2}{{C}_{3}}^{2}$=8，…，
∴S_n=2^2n-3（n为正整数）．
当n=5时，S₅=2⁷=128．
故答案为：128．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、三角形的面积公式以及规律型中得坐标的变化，解题的关键是找出“S_n=2^2n-3（n为正整数）”．本题属于中档题，难度不大，但转化过程较繁琐，用到知识点较多，好在该题为填空题，可以减少不少证明过程，可直接拿来应用．解决该题型题目时，找出面积的变化规律是关键．