Question

16．若∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c．
（1）如图1，若AE∥BF，则a，b，c之间有何关系？a=b+c（直接写出结果）
（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则a，b，c之间有何关系？并说明理由．
（3）如图3，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与a，b，c之间的关系是∠APB=a-$\frac{1}{2}$（b+c）（用a，b，c表示）
（4）如图4，若a≥b+c，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P₁，∠EAP₁与∠FBP₁的平分线交于P₂；依此类推，则∠P₆=a-$\frac{63}{64}$（b+c）．（用a、b、c表示），写出结论即可．

Answer 1

分析 （1）过点C作CM∥AE，根据平行线的性质即可得出∠EAC=∠ACM、∠FBC=∠BCM，再通过角的计算即可得出结论；
（2）a=$\frac{1}{2}$（b+c）．过点C作CG∥AM，根据平行线的性质可得出∠MAC=∠ACG、∠NBC=∠BCG，再根据角平分线的性质结合角的计算即可得出结论；
（3）连接PC并延长到点M，根据三角形外角的性质可得出∠ACM=∠PAC+∠APC、∠BCM=∠PBC+∠BPC，再根据角平分线的性质结合角的计算即可得出结论；
（4）结合（3）的结论找出∠P₁、∠P₂、∠P₃，根据角的变化找出变化规律“∠P_n=a-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$（b+c）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：（1）过点C作CM∥AE，如图1所示．
∵CM∥AE，
∴∠EAC=∠ACM．
∵CM∥AE，AE∥BF，
∴CM∥BF，
∴∠FBC=∠BCM．
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=a，∠EAC=b，∠FBC=c，
∴a=b+c．
故答案为：a=b+c．
（2）a=$\frac{1}{2}$（b+c）．理由如下：
过点C作CG∥AM，如图2所示．
∵CG∥AM，AM∥BN，
∴AM∥BN∥CG，
∴∠MAC=∠ACG，∠NBC=∠BCG，
∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，
∴∠ACB=∠ACG+∠BCG=∠MAC+∠NBC=$\frac{1}{2}$∠EAC+$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠EAC+∠FBC）=$\frac{1}{2}$（b+c）．
（3）连接PC并延长到点M，如图3所示．
∵∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠EAC，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠FBC，
∵∠ACM=∠PAC+∠APC，∠BCM=∠PBC+∠BPC，∠ACB=∠ACM+∠BCM，∠APB=∠APC+∠BPC，
∴∠ACB=∠PAC+∠PBC+∠APB，
∵∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c，
∴a=$\frac{1}{2}$（b+c）+∠APB，
∴∠APB=a-$\frac{1}{2}$（b+c）．
故答案为：∠APB=a-$\frac{1}{2}$（b+c）．
（4）结合（3）结论可知：
∠P₁=a-$\frac{1}{2}$（b+c），∠P₂=a-$\frac{3}{4}$（b+c），∠P₃=a-$\frac{7}{8}$（b+c），…，
∴∠P_n=a-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$（b+c）．
当n=6时，∠P₆=a-$\frac{{2}^{6}-1}{{2}^{6}}$（b+c）=a-$\frac{63}{64}$（b+c）．
故答案为：a-$\frac{63}{64}$（b+c）．

点评 本题考查了平行线的性质．角平分线的性质、角的计算、三角形外角的性质以及规律型中数的变化规律，解题的关键是：（1）找出∠ACB=∠EAC+∠FBC；（2）找出∠ACB=$\frac{1}{2}$∠EAC+$\frac{1}{2}$∠FBC；（3）根据三角形外角的性质找出∠ACB=∠PAC+∠PBC+∠APB；（4）找出规律“∠P_n=a-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$（b+c）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键．