Question

16．已知AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点CH⊥AB于点H，过点B作O的切线，交弦AC的延长线于点D，点E为CH的中点，连按AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若FB=FE=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OF、BC，证△OCF≌△OBF即可；
（2）根据FE=FB=FC可推出△FAG是等腰三角形，进而BG就等于直径；根F是DB中点可得OF∥AC，由平行线分线段成比例可算出FG，再由勾股定理算出BG即可．

解答 解：（1）如图，

∵AB是⊙O的直径，BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴$\frac{CE}{DF}=\frac{AE}{AF}=\frac{EH}{BF}$，
∵CE=EH，
∴DF=BF，
连接BC，则BC⊥AD，
∴CF=BF=DF，
连接OC、OF，
在△OCF和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{OF=OF}\\{FC=FB}\end{array}\right.$
∴△OCF≌△OBF（SSS），
∴∠OCF=∠OBF=90°，
∴CG是⊙O的切线；
（2）∵FE=FB=6，
∴FC=FE=6，
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠FCE+∠G=∠FEC+∠FAB=90°，
∴∠FAB=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=BG，
∵AO=OB，
∴OF∥AC，
∴$\frac{GF}{FC}=\frac{GO}{OA}=3$，
∴FG=3FC=18，
∴BG=12$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BG=6\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的切线的判定、圆周角的性质、平行线分线段成比例、直角三角形斜边中线、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等众多知识点，有一定难度．熟悉圆的基本性质是解答的关键．