Question

6．定义[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，-1]的函数的一些结论：
①当m=-1时，函数图象的顶点坐标是（1，0）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1；
③当m＜0时，函数在x＞$\frac{1}{2}$时，y随x的增大而减小；
④不论m取何值，函数图象经过两个定点．
其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 ①把m=-1代入[m，1-m，-1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．

解答 解：因为函数y=ax²+bx+c的特征数为[m，1-m，-1]；
①当m=-1时，y=-x²+2x-1=-（x-1）²，顶点坐标是（1，0）；此结论正确；
②当m＞0时，令y=0，有mx²+（1-m）x-1=0，解得x=$\frac{（m-1）±（m+1）}{2m}$，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{1}{m}$+1＞1，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于1，此结论正确；
③当m＜0时，y=mx²+（1-m）x-1 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=$\frac{m-1}{2m}$，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，$\frac{m-1}{2m}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{m}$＞$\frac{1}{2}$，即对称轴在x=$\frac{1}{2}$右边，因此函数在x=$\frac{1}{2}$右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x=1，m≠0时，y=mx²+（1-m）x-1=m+（1-m）-1=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当x=0时，函数图象都经过同一个点（0，-1），故不论m取何值，函数图象经过两个定点，此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故选B．

点评 此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．