题目内容
14．
如图，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（0，2）、B（-1，0），且对称轴为直线x=1．点C是抛物线上x轴上方任意一点，直线CD平行于x轴，与y轴交于点D．设点C的横坐标为x．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）设以点A、B、C、O为顶点的四边形面积为S．
①当点C在第一象限时，求S=3时x的值．
②当点C在第二象限时，求S与x之间的函数关系式．
（3）当∠ABO=∠OCD时，求x的值．
分析 （1）设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2+bx+c，将点A（0，2）、B（-1，0）分别代入解析式并根据对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$列方程解答；
（2）①当点C在第一象限时，以点A、B、C、O为顶点的四边形面积S=S△ABO+S△ACO；
②当点C在第二象限时，以点A、B、C、O为顶点的四边形面积S=S△ACO+S△BCO．
（3）分两种情况讨论：当点C在第一象限时，∠ABO=∠OCD，可得△ABO∽△OCD；
当点C在第二象限时，∠ABO=∠OCD，可得△ABO∽△OCD．
解答 解：（1）设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过点A（0，2）、B（-1，0），且对称轴为x=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}c=2\\-\frac{b}{2a}=1\\ a-b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴抛物线所对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$（或$y=-\frac{2}{3}{（x-1）^2}+\frac{8}{3}$）．
（2）①当点C在第一象限时，
以点A、B、C、O为顶点的四边形面积S=S△ABO+S△ACO=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2x=3．
解得x=2．
②当点C在第二象限时，
以点A、B、C、O为顶点的四边形面积
S=S△ACO+S△BCO=$\frac{1}{2}$×2（-x）+$\frac{1}{2}$×1•（$-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$）
=$-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{1}{3}x+1$．
∴S 关于x的函数关系式为S=$-\frac{1}{3}{x^2}-\frac{1}{3}x+1$．
（3）当点C在第一象限时，
∵∠ABO=∠OCD，
∴△ABO∽△OCD，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{CD}$，则有$\frac{AO}{BO}=\frac{OD}{CD}=\frac{2}{1}$，
∴2x=$-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
解得x=$\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}$或x=$\frac{{-1-\sqrt{13}}}{2}$（舍）．
当点C在第二象限时，
∵∠ABO=∠OCD，
∴△ABO∽△OCD，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{CD}$，则有$\frac{AO}{BO}=\frac{OD}{CD}=\frac{2}{1}$，
∴-2x=$-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
解得x=$\frac{{5-\sqrt{37}}}{2}$或x=$\frac{{5+\sqrt{37}}}{2}$（舍）．
综上，当∠ABO=∠OCD时，x的值为$\frac{{-1+\sqrt{13}}}{2}$或$\frac{{5-\sqrt{37}}}{2}$．
点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质，综合性较强．
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