Question

8．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，线段EG与FH是否存在特殊的位置关系或数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，求出BE=CF=DG=AH，根据SAS推出△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，根据全等三角形的性质得出EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠EFB，求出∠HEF=90°，根据正方形的判定得出四边形EFGH的形状是正方形即可．

解答 证明：连接HG，GF，EF，HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH，
∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAB，
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠EFB，
∵∠B=90°，
∴∠EFB+∠FEB=90°，
∴∠AEH+∠FEB=90°，
∴∠HEF=90°，
∵EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH的形状是正方形，
∴EG=HF，且EG⊥HF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠HEF=90°和EF=FG=GH=HE，题目比较典型，难度适中．