Question

17．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；
（2）如图2，当点E在线段AD上时，AE=1；
①求点F到AD的距离；
②求BF的长；
（3）若BF=3$\sqrt{10}$，请直接写出此时AE的长．

Answer 1

分析 （1）作FH⊥AB于H，由AAS证明△EFH≌△CED，得出FH=CD=4，AH=AD=4，求出BH=AB+AH=8，由勾股定理即可得出答案；
（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，则FM=AH，AM=FH，①同（1）得：△EFH≌△CED，得出FH=DE=3，EH=CD=4即可；
②求出BM=AB+AM=7，FM=AE+EH=5，由勾股定理即可得出答案；
（3）分两种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，同（1）得：：△EFH≌△CED，得出FH=DE=4+AE，EH=CD=4，得出FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，同理得：AE=2+$\sqrt{41}$．

解答 解：（1）作FH⊥AB于H，如图1所示：
则∠FHE=90°，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=4，EF=CE，∠ADC=∠DAH=∠BAD=∠CEF=90°，
∴∠FEH=∠CED，
在△EFH和△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FHE=∠EDC=90°}&{\;}\\{∠FEH=∠CED}&{\;}\\{EF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFH≌△CED（AAS），
∴FH=CD=4，AH=AD=4，
∴BH=AB+AH=8，
∴BF=$\sqrt{B{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
（2）过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，作FM⊥AB于M，如图2所示：
则FM=AH，AM=FH，
①∵AD=4，AE=1，∴DE=3，
同（1）得：△EFH≌△CED（AAS），
∴FH=DE=3，EH=CD=4，
即点F到AD的距离为3；
②∴BM=AB+AM=4+3=7，FM=AE+EH=5，
∴BF=$\sqrt{B{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{74}$；
（3）分两种情况：
①当点E在边AD的左侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，
如图3所示：
同（1）得：：△EFH≌△CED，
∴FH=DE=4+AE，EH=CD=4，
∴FK=8+AE，在Rt△BFK中，BK=AH=EH-AE=4-AE，
由勾股定理得：（4-AE）²+（8+AE）²=（3$\sqrt{10}$）²，
解得：AE=1或AE=-5（舍去），
∴AE=1；
②当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，如图4所示：
同理得：AE=2+$\sqrt{41}$；
综上所述：AE的长为1或2+$\sqrt{41}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．