Question

14．如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过B、C、D三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若动直线MN（MN∥x 轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，
①若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值；
②当t为何值时，$\frac{MN•OP}{MN+OP}$的值最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆的性质得出B，C点坐标，进而利用交点式求出函数解析式；
（2）①直接利用若△PCM∽△OCD或△MCP∽△OCD，分别得出t的值求出答案即可；
②利用MN∥OC，则$\frac{MN}{DN}$=$\frac{CO}{DO}$，进而求出$\frac{MN•OP}{MN+OP}$关于t的关系式求出最值即可．

解答 解：（1）∵A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，
∴B（-2，0），C（8，0），
代入抛物线y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），
得y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；

（2）①由题可得N（0，t-4），P（8-2t，0），
若△PCM∽△OCD，
则$\frac{PC}{PM}$=$\frac{OC}{OD}$，即$\frac{2t}{4-t}$=$\frac{8}{4}$，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，则$\frac{PC}{MC}$=$\frac{DC}{OC}$，即$\frac{2t}{4\sqrt{5}-\sqrt{5}t}$=$\frac{4\sqrt{5}}{8}$，
解得t=$\frac{20}{9}$，
即当t=2或t=$\frac{20}{9}$时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．

②∵MN∥OC，
∴$\frac{MN}{DN}$=$\frac{CO}{DO}$，即MN=2t，
又∵OP=8-2t，
∴$\frac{MN•PO}{MN+PO}$=$\frac{2t（8-2t）}{2t+8-2t}$=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
∴当t=2时取最大值2．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质，正确利用分类讨论求出t的值是解题关键．