Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，将△ABC折叠，使点B落在射线CA上点D处，折痕为PQ．
（1）当点D与点A重合时，求PQ长；
（2）当点D与C、A不重合时，设AD=xcm，AP=ycm．
①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当重叠部分为等腰三角形时，请直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）由折叠得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出PQ是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）①由折叠得出PD=BP=2-y，再用勾股定理建立方程即可得出结论；
②根据等腰三角形的定义，分①PD=DQ时，BP=BQ，再根据翻折变换前后的线段相等判断出BP=BQ=PD=DQ，从而得到四边形BQDP是菱形，根据菱形的对边平行可得PD∥BC，BP∥DQ，然后判断出△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质用AD表示出PD、CD，然后根据AC的长度列方程求解即可；②DQ=PQ时，BQ=PQ，求出△BPQ是等腰直角三角形，点B与点C重合，从而得到AD=AC；③PD=PQ时，PQ=BP，然后求出△BPQ是等腰直角三角形，点B与点A重合，不符合题意．

解答 解：（1）如图，
当点D和点A重合时，
由折叠知，AP=BP，∠BPQ=∠APQ，
∵∠APQ+∠BPQ=180°，
∴∠BPQ=∠APQ=90°=∠BAC，
∴PQ∥AC，
∵AP=BP，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AC=1；

（2）①∵AD=x，AC=2，
∴CD=2-x，
∵AP=y，AB=2，
∴BP=2-y，
在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，∠B=∠C=45°，
如图1，
由折叠知，DP=BP=2-y，
在Rt△ADP中，根据勾股定理得，AP²+AD²=PD²，
∴y²+x²=（2-y）²，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+1（0≤x≤2）；

②、Ⅰ、PD=DQ时，BP=BQ，
由翻折变换得，BP=PD，BQ=DQ，
∴BP=BQ=PD=DQ，
∴四边形BQDP是菱形，
∴PD∥BC，BP∥DQ，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，
在Rt△APD中，PD=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$x，
在Rt△CDQ中，CD=DQ，
∵PD=DQ，
∴CD=$\sqrt{2}$AD，
∵AC=AD+CD，
∴AD+$\sqrt{2}$AD=2，
即：x+$\sqrt{2}$x=2
解得AD=2$\sqrt{2}$-2；
Ⅱ、DQ=PQ时，BQ=PQ，
∴∠BPQ=∠B=45°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴点B与点C重合，
∴x=AD=AC=2；
Ⅲ、PD=PQ时，PQ=BP，
∴∠BQP=∠B=45°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴点B与点A重合，
此时，点B与点A重合，不符合题意，舍去；
综上所述，AD的长度为2或2$\sqrt{2}$-2．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解（1）的关键是得出PQ是AB的垂直平分线，解（2）①的关键是利用勾股定理建立方程，解（2）②的关键是分类讨论思想，是一道中考常考题．