Question

5．关于x的方程kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x₁、x₂，且x₁+x₂-x₁x₂ =2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）先根据根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁x₂，再代入方程求关于k的方程即可．

解答 （1）证明：①当k=0时，x-2=0，得x=2，有实数根；
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵△=（3k-1）²-4k×2（k-1）=（k+1）²≥0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根；

（2）解：∵方程有两个实数根，
∴k≠0，方程为一元二次方程．
由已知可得x₁+x₂=$\frac{3k-1}{k}$，x₁x₂ =$\frac{2（k-1）}{k}$，
∵x₁+x₂-x₁x₂ =2，
∴$\frac{3k-1}{k}$-$\frac{2（k-1）}{k}$=2，
∴k=1．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．