Question

17．设有两个非负数a、b．则有如下证明：∵（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0（当且仅当a=b时等号成立）．∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0．∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$（或ab≤$\frac{（a+b）^{2}}{4}$）（当且仅当a=b时等号成立）根据这一证明的结论解答下列问题：
（1）若m＞0，则当m=$\sqrt{3}$时，m+$\frac{3}{m}$的最小值为2$\sqrt{3}$．
（2）已知一矩形水池的周长为20米，水池的深为3米，水池该怎样修才能使水池的容积最大？最大容积为多少？
（3）如图，已知P为双曲线y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）上任意一点，过点P作PB⊥x轴，PA⊥y轴且C（0，-4），D（6，0），求四边形ABCD的面积的最小值，并求此时A，B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题中的结论得到m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{3}{m}}$，当m=$\frac{3}{m}$时，m+$\frac{3}{m}$有最小值，然后计算m的值和代数式的最小值；
（2）设矩形水池的一边为xm，则另一边为（10-x）m，利用体积公式得到水池的容积V=3•x•（10-x）=-3x²+30x，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征，设P（x，-$\frac{6}{x}$），则AC=-$\frac{6}{x}$+4，DB=6-x，利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积S=-$\frac{18}{x}$-2x+15，接着利用题中的结论得到-$\frac{18}{x}$-2x≥6，当-$\frac{18}{x}$=-2x时，-$\frac{18}{x}$-2x有最小值为6，可解得x=-3，然后写出A、B点的坐标．

解答 解：（1）m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{3}{m}}$，即m+$\frac{3}{m}$≥2$\sqrt{3}$，当m=$\frac{3}{m}$时，m+$\frac{3}{m}$有最小值2$\sqrt{3}$，此时m=$\sqrt{3}$；
故答案为$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$；
（2）设矩形水池的一边为xm，则另一边为（10-x）m，
则水池的容积V=3•x•（10-x）=-3x²+30x，
当x=-$\frac{30}{2×（-3）}$=15，
V的最大值=$\frac{0-3{0}^{2}}{4×（-3）}$=75，
即矩形水池的长宽相等，都为15m时，水池的容积最大，最大容积为75m³；
（3）设P（x，-$\frac{6}{x}$），则AC=-$\frac{6}{x}$+4，DB=6-x，
四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$•（-$\frac{6}{x}$+4）（6-x）=-$\frac{18}{x}$-2x+15，
∵-$\frac{18}{x}$-2x≥$\sqrt{-\frac{18}{x}•（-2x）}$，即-$\frac{18}{x}$-2x≥6，当-$\frac{18}{x}$=-2x时，-$\frac{18}{x}$-2x有最小值为6，此时x=-3，
∴四边形ABCD的面积的最小值为6+15=21，此时A（0，2），B（-3，0）．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；能正确使用题中的有关不等式的结论解决最值问题．