Question

11．如图，已知△ABC中，点D在AB上，且CD=AD=BD，点F在BC上，过D作DE⊥DF交AC于E，过F作FG⊥AB于G，以下结论：①△ABC为直角三角形，②BF²+DG²=DF²+BG²，③AE²+BF²=CE²+CF²，④AG²=AC²+BG²，其中结论正确的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据在△ABC中，点D在AB上，且CD=AD=BD，点F在BC上，过D作DE⊥DF交AC于E，过F作FG⊥AB于G，可得∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，又根据三角形内角和，可以求得∠ACD=90°，从而判断①；再根据题目中的垂直条件，可以通过转化得到②是否正确；点F在BC上，无法确定BF与CF是否相等，由此可以判断③④是否成立．

解答 解：∵CD=AD=BD，
∴∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，
∵∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故①正确；
∵FG⊥AB，
∴BF²-BG²=DF²-DG²=FG²，
∴BF²+DG²=DF²+BG²，
故②正确；
∵CD=AD=BD，DE⊥AC，FG⊥BA，
∴AE=EC，
∵点F在BC上，
∴CF与BF不一定相等，
∴AE²+BF²不一定等于CE²+CF²，
故③错误；
④AG²=AC²+BG²，
∵FG⊥AB，
∴AG²=AF²-FG²，BG²=BF²-GF²
∴AC²+BG²=AC²+BF²-FG²，
∵点F在BC上，
∴CF与BF不一定相等，
∴AG²不一定等于AC²+BG²，
故④错误，
故选A．

点评 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理解答问题．