Question

3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，延长OE至点F，使OE=EF．
（1）求证：四边形OBCF为平行四边形；
（2）求证：△CEF∽△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得O为BD中点，再由E为CD中点可得EO为中位线，根据中位线定理可得EO∥BC，BC=2EO，然后再证明OF=BC，进而可得四边形OBCF为平行四边形；
（2）首先证明∠CEF=∠DCB=90°，再证明∠F=∠OCB，进而可判定△CEF∽△ABC．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴O为BD中点，
∵E为CD中点，
∴△DBC中，EO为中位线，
∴EO∥BC，BC=2EO，
∴EO=EF，
∴FO=EO+EF=2EO，
∴OF=BC，
又OF∥BC，
∴四边形OBCF为平行四边形；

（2）矩形ABCD中，∠DCB=90°．
∵EO∥BC，
∴∠CEF=∠DCB=90°，
在?OBCF中，∠F=∠OBC，
矩形ABCD中，AC=BD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，即CO=BO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠F=∠OCB，
∴△CEF∽△ABC．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及相似三角形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有两组角对应相等的两个三角形相似．