Question

16．如图①，先把一矩形ABCD纸片上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B叠在折痕线MN上，得到Rt△ABE．过B点作PQ⊥MN，分别交EC、AD于点P、Q．
（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）在图②中，如果沿直线EB再次折叠纸片，点A能否叠在直线EC上？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB=3$\sqrt{2}$，求AE的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可以得到∠BPE=∠AQB=90°，通过角的转化可以得到∠BEP=∠ABQ，从而可以得到△PBE∽△QAB；
（2）根据折叠的知识可以得到QB=PB，由第（1）问中的相似可以得到对应边成比例，通过转化可以得到△PBE∽△BAE，从而可以解答本题；
（3）由题意和第（2）问可以得到∠AEB=∠BEP=60°，∠ABE=90°，又因为AB=3$\sqrt{2}$，sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$，从而可以得到AE的长度．

解答 （1）证明：∵PQ⊥MN，BN∥EC∥AD，
∴∠BPE=∠AQB=∠PBN=∠NBQ=90°，
∴∠PBE+∠BEP=90°，
又∵∠PBE+∠ABQ=180°-∠ABE=180°-90°=90°，
∴∠BEP=∠ABQ，
在△PBE∽△QAB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPE=∠AQB}\\{∠BEP=∠ABQ}\end{array}\right.$
∴△PBE∽△QAB；
（2）点A能叠在直线EC上，
理由：∵△PBE∽△QAB，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{PE}{QB}$，
∵由折叠可知，QB=PB，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{PE}{PB}$，即$\frac{BE}{PE}=\frac{AB}{PB}$，
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE，
∴∠AEB=∠PEB，
∴沿直线EB再次折叠纸片，点A能叠在直线EC上；
（3）解：由（2）可知，∠AEB=∠PEB，
而由折叠过程知：2∠AEB+∠PEB=180°，
∴∠AEB=∠PEB=60°，
在Rt△ABE中，sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$，
∴AE=$\frac{AB}{sin∠AEB}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}$．

点评 本题考查相似形综合题，解题的关键是明确题意，求出题目中边边、角角、角边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．