如图.点P1(x1.y1).点P2(x2.y2).-.点Pn(xn.yn)在函数$y=\frac{1}{x}$的图象上.△P1OA1.△P2A1A2.△P3A2A3.-.△PnAn-1An都是等腰直角三角形.斜边OA1.A1A2.A2A3.-.An-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数).若△P1OA2的内接正方形B1C1D1E2的周长记为l1.△P2A1A2的内接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，点P₁（x₁，y₁），点P₂（x₂，y₂），…，点P_n（x_n，y_n）在函数$y=\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…，A_n-1A_n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），若△P₁OA₂的内接正方形B₁C₁D₁E₂的周长记为l₁，△P₂A₁A₂的内接正方形B₂C₂D₂E₂的周长记为l₂，…，△P_nA_n-1A_n的内接正方形B_nC_nD_nE_n的周长记为l_n，则用含n的式子表示l₁+l₂+l₃+…+l_n为（　　）

A．

$\frac{8\sqrt{n}}{3}$

B．

2$\sqrt{n}$

C．

$\frac{4\sqrt{n}}{3}$

D．

$\frac{2\sqrt{n}}{3}$

分析由于△P₁OA₁是等腰直角三角形，可知直线OP₁的解析式为y=x，将它与y=$\frac{1}{x}$（x＞0）联立，求出方程组的解，得到点P₁的坐标，则A₁的横坐标是P₁的横坐标的两倍，从而确定点A₁的坐标；由于△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，则A₁P₂∥OP₁，直线A₁P₂可看作是直线OP₁向右平移OA₁个单位长度得到的，因而得到直线A₁P₂的解析式，同样，将它与y=$\frac{1}{x}$（x＞0）联立，求出方程组的解，得到点P₂的坐标，则P₂的横坐标是线段A₁A₂的中点，从而确定点A₂的坐标；依此类推，从而确定点A_n的坐标，得出OA_n的长，然后根据l₁=$\frac{4}{3}$OA₁，l₂=$\frac{4}{3}$A₁A₂，l₃=$\frac{4}{3}$A₂A₃…l_n=$\frac{4}{3}$A_n-1A_n，即可求得l₁+l₂+l₃+…+l_n=$\frac{4}{3}$OA_n=$\frac{4}{3}$×2 $\sqrt{n}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{n}$．

解答解：过P₁作P₁M₁⊥x轴于M₁，如图所：
易知M₁（1，0）是OA₁的中点，
∴A₁（2，0）．
可得P₁的坐标为（1，1），
∴P₁O的解析式为：y=x，
∵P₁O∥A₁P₂，
∴A₁P₂的表达式一次项系数相等，
将A₁（2，0）代入y=x+b，
∴b=-2，
∴A₁P₂的表达式是y=x-2，
与y=$\frac{1}{x}$（x＞0）联立，解得P₂（1+$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）．
仿上，A₂（2$\sqrt{2}$，0）．
P₃（$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$），A₃（2$\sqrt{3}$，0）．
依此类推，点A_n的坐标为（2$\sqrt{n}$，0），
∵l₁=$\frac{4}{3}$OA₁，l₂=$\frac{4}{3}$A₁A₂，l₃=$\frac{4}{3}$A₂A₃…l_n=$\frac{4}{3}$A_n-1A_n，
∴l₁+l₂+l₃+…+l_n=$\frac{4}{3}$OA_n=$\frac{4}{3}$×2$\sqrt{n}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{n}$．
故选：A．