Question

18．已知关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m+1}\\{x-2y=4m+1}\end{array}\right.$的解都是正数，下列结论：①-$\frac{1}{2}$＜m＜1；②当m=-$\frac{1}{4}$时，方程组的解在一次函数y=4x-$\frac{7}{4}$的图象上；③当0＜y＜x时，-$\frac{1}{3}$＜m＜0，其中正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 将m当成常数解方程组，得出x、y的值，再根据x、y均为正数，得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，①对比m的取值范围即可得知该结论成立；②将m的值带入方程的解中，求出x、y的值，再验证该点是否在一次函数y=4x-$\frac{7}{4}$的图象上即可；③解不等式0＜-m＜2m+1，即可得出结论．综上即可得出正确结论的个数，此题得解．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m+1}\\{x-2y=4m+1}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+1}\\{y=-m}\end{array}\right.$．
∵x、y均为正数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+1＞0}\\{-m＞0}\end{array}\right.$
，解得：-$\frac{1}{2}$＜m＜0．
①-$\frac{1}{2}$＜m＜1，结论正确；
②当m=-$\frac{1}{4}$时，方程组得解为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
令一次函数y=4x-$\frac{7}{4}$中x=$\frac{1}{2}$，有y=4×$\frac{1}{2}$-$\frac{7}{4}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴当m=-$\frac{1}{4}$时，方程组的解在一次函数y=4x-$\frac{7}{4}$的图象上，该结论成立；
③当0＜y＜x时，有0＜-m＜2m+1，解得：-$\frac{1}{3}$＜m＜0，
∴当0＜y＜x时，-$\frac{1}{3}$＜m＜0，该结论成立．
综上可知：成立的结论有①②③．
故选D．

点评 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）以及解一元一次不等式组，解题的关键是逐条验证3条结论是否成立．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过解方程组得出两一次函数的交点，根据交点的位置得出不等式（或不等式组）是关键．