Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S_△APE=

1

2

•PE•y_P，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P为（-

3

2

，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将x_P'坐标代入解析式，判断是否为y_P'即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴解析式为y=-x²-2x+3
∵-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线顶点坐标D为（-1，4）．

（2）∵A（-3，0），D（-1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得

k=2 b=6

，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S_△APE=

1

2

•PE•y_P=

1

2

•（-x）•（2x+6）=-x²-3x（-3＜x＜-1），当x=-

-3

2•(-1)

=-

3

2

时，S取最大值

9

4

．

（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，

∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（-

3

2

，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=

3

2

，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，
设EN=m，则FN=m，P′N=3-m．
在Rt△P′EN中，
∵（3-m）²+（

3

2

）²=m²，
∴m=

15

8

．
∵S△P′EN=

1

2

•P′N•P′E=

1

2

•EN•P′M，
∴P′M=

9

10

．
在Rt△EMP′中，
∵EM=

( 3 2 )2-( 9 10 )2

=

6

5

，
∴OM=EO-EM=

9

5

，
∴P′（

9

10

，

9

5

）．
当x=

9

10

时，y=-（

9

10

）²-2•

9

10

+3=

39

100

≠

9

5

，
∴点P′不在该抛物线上．

点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．