Question

8．若关于x的方程x²+2nx+n²-3n+2=0有两个实数根x₁、x₂，则x₁•x₂+5n的最小值为$\frac{34}{9}$．

Answer 1

分析 先根据判别式的意义得到得n≥$\frac{2}{3}$，再根据根与系数的关系得x₁•x₂=n²-3n+2，所以x₁•x₂+5n=n²-3n+2+5n，然后配方得到（n+1）²+1，再利用二次函数的性质确定x₁•x₂+5n的最小值．

解答 解：根据题意得△=4n²-4（n²-3n+2）≥0，解得n≥$\frac{2}{3}$，
∵x₁•x₂=n²-3n+2，
∴x₁•x₂+5n=n²-3n+2+5n
=n²+2n+2，
=（n+1）²+1，
∴当n≥$\frac{2}{3}$时，x₁•x₂+5n随n的增大而增大，
且n=$\frac{2}{3}$时，x₁•x₂+5n有最小值，最小值=（$\frac{2}{3}$+1）²+1=$\frac{34}{9}$．
故答案为$\frac{34}{9}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式和二次函数的最值．