Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=6．动点P从点A出发沿AB方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点C出发沿射线BC以每秒2个单位的速度运动，当点P到达点B时，P，Q同时停止运动，连结PQ，QA．
设点P的运动时间为t秒（t＞0），
（1）当CQ=2BP时，求t的值；
（2）当t为何值时，QP=QA；
（3）若线段PQ的中垂线与线段BC相交，（包括线段的端点），则t的取值范围是1.5≤t≤3（ 直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质求出AB，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据相似三角形的性质求出PE、BE，根据勾股定理列方程，解方程求出t；
（3）根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列式计算．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=12，AC=6$\sqrt{3}$，
由题意得，CQ=2t，BP=12-2t，
则2t=2（12-2t），
得t=4；

（2）作PE⊥BQ于E，
则PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BP}{BA}$，
解得，PE=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，BE=6-t，
则EQ=EC+CQ=3t，
∴PQ²=3（6-t）²+9t²，
∵∠ACQ=90°，
∴AQ²=AC²+CQ²=108+4t²，
由题意得，108+4t²=3（6-t）²+9t²，
解得，t=4.5；

（3）当BP=BQ时，12-2t=6+2t，
解得，t=1.5，
当CP=CQ时，3（6-t）²+t²=（2t）²，
解得，t=3，
则当1.5≤t≤3时，线段PQ的中垂线与线段BC相交，
故答案为：1.5≤t≤3．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、线段垂直平分线的判定和性质，掌握直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．