Question

3．已知抛物线y=-x²+2mx+m²-m-1的最高点在第二象限，且最高点的纵坐标为2．
（1）求m的值；
（2）若此抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数图象有最高点判断出m＜0，再根据二次函数的纵坐标列出方程求解即可．
（2）根据m的取值，求得抛物线的解析式为y=-x²-2x+1，进而求得A、B、C的坐标，即可求得△ABC的面积．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+2mx+m²-m-1的图象有最高点，
∵最高点在第二象限，
∴x=-$\frac{2m}{-2}$=m＜0
∵最高点的纵坐标为2，
∴$\frac{-4（{m}^{2}-m-1）-4{m}^{2}}{-4}$=2，
整理得，2m²-m-1=2，
解得m₁=-1，m₂=$\frac{3}{2}$，
所以，m的值为-1．
（2）∵m=-1，
∴抛物线为y=-x²-2x+1，
令x=0，则y=1，
令y=0，则-x²-x-$\frac{5}{4}$=0，解得x₁=-1+$\sqrt{2}$，x₂=-1-$\sqrt{2}$；
∴A（-1+$\sqrt{2}$，0），B（-1-$\sqrt{2}$，0），C（0，1）
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，熟记二次函数的顶点坐标以及二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键．