Question

11．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（$2\sqrt{3}$，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的上方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作BC⊥OC于点C，由∠AOB=120°，∠AOC=90°，可得∠BOC=30°，由BO=AO=2$\sqrt{3}$，可得BC=$\sqrt{3}$，OC=3，即可得出点B的坐标，
（2）设抛物线的解析式为y=ax•（x-2$\sqrt{3}$），把点B代入即可求出抛物线的解析式，
（3）作PN⊥x轴，垂足为M，交AB于点N，设P（m，$-\frac{1}{3}{m^2}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}m$），可得M（m，0），由A，B的坐标，可求直线AB的解析式，可得N的坐标，从而得出PN的值，利用S_△PAB=$\frac{1}{2}$PN×[2$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）]，即可得出最大值及点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，作BC⊥OC于点C，

∵∠AOB=120°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=30°，
∵BO=AO=2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴$B（-\sqrt{3}，-3）$；
（2）设抛物线的解析式为y=ax•（x-2$\sqrt{3}$），
∵y=ax•（x-2$\sqrt{3}$），过B（-$\sqrt{3}$，-3），
∴-3=a×（-$\sqrt{3}$）×（-$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$），
∴a=-$\frac{1}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，
（3）如图2，作PN⊥x轴，垂足为M，交AB于点N，设P（m，$-\frac{1}{3}{m^2}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}m$），则M（m，0），
π
∵A（$2\sqrt{3}$，0），B（-$\sqrt{3}$，-3），
∴直线AB的函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴N（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}m$-2），
∴PN=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-（$\frac{\sqrt{3}}{3}m$-2）=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2，
∵S_△PAB=$\frac{1}{2}$PN×[2$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）]
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2）
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3$\sqrt{3}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{27\sqrt{3}}{8}$，
∴当m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，最大值为S_△PAB=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$，
此时P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及直角三角形的性质，抛物线的关系式及最大值，解题的关键是求出点N的坐标，利用△PAB的面积列出一元二次方程求解．