Question

12．已知，直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰三角形Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中一个动点．要使得△ABC和△ABP的面积相等，则实数a的值（　　）

• A． a=4
• B． a=±4
• C． a=-3
• D． a=±3

Answer 1

分析 先利用一次函数图象上点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征求出A、B点的坐标，再利用勾股定理计算出AB的长，从而可计算出△ABC的面积，然后利用面积公式列方程$\frac{1}{2}$×1×|a|=2，再解绝对值方程可求出a的值．

解答 解：当x=0时，y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，则B（0，$\sqrt{3}$）；当y=0时，-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=0，解得x=1，则A（1，0）；
∴∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2，
∵Rt△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△ABC和△ABP的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$×1×|a|=2，解得a=±4．
故选B．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．