Question

6．如图，△ABC和△BED都是等边三角形，点D，E都在△ABC的外部．

（1）DA与EC会相等吗？为什么？
（2）当DA⊥BC时，点D一定是△EBC的三边垂直平分线的交点吗？如果是，请说明理由；如果不是，利用备用图画出不是情况下的一个图形．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△BED都是等边三角形，得到AB=BC，BD=BE，进而得到∠ABD=∠CBE，推出△ABD≌△CBE，从而得到结论．
（2）由等腰三角形的性质：三线合一定理，推出DB=DC，DE=DC，从而得到DE=DB=DC，于是推出结论．

解答 解：（1）相等；
证明：∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，
∠ABD=60°+∠CBD，∠CBE=60°+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE，
∴DA=EC；
（2）点D一定是△EBC的三边垂直平分线的交点；
证明：∵△ABC是等边三角形，
AD⊥BC，
∴AD平分BC，
∴DB=CD，
∵△BED是等边三角形，
∴DE=DB，
∴DE=DB=DC，
∴点D一定是△EBC的三边垂直平分线的交点．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定线段垂直平分线的判定，巧妙的利用等边三角形的性质：三个角都是60°，三条边都相等，构造全等三角形是解题的关键．