Question

4．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数是$\frac{1}{{1-（{-1}）}}=\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₁₆=4．

Answer 1

分析 利用规定的运算方法，分别算得a₁，a₂，a₃，a₄…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题．

解答 解：∵a₁=-$\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…
∴数列以-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4三个数依次不断循环，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=4．
故答案为：4．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．