Question

1．如图，△ABC与△ABD中，BC=BD，AE、AF分别是∠BAC、∠BAD的角平分线．
（1）请你在原图中作出两个三角形的角平分线AE和AF （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）；
（2）若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．

Answer 1

分析 （1）分别作出∠CAB、∠BAD的角平分线即可；
（2）首先证明△ABC≌△ABD，推出∠CAB=∠DAB，由∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，可知∠BAE=∠BAF，推出△ABE≌△ABF即可解决问题．

解答 解：（1）如图所示，线段AE、AF即为所求．


（2）在△ABC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{∠ABC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB=∠DAB，
∵∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE=∠BAF，
在△ABE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠FAB}\\{AB=AB}\\{∠ABE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ABF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、基本作图、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．