Question

15．在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=4cm，BC=8cm，点N从点A出发，沿AB向点B运动，速度是1cm/s，过点N作NM⊥BD于点M，交BC于点E，过点E作EF⊥CD于点F，连接NF交BD于点G，连接BF交AE于点H，连接GH．设运动时间是t（s）．
（1）如图1，当t=0时，求证：GF=HF；
（2）如图2，当t为多少时，△NEF的面积为6cm²？
（3）如图3，连接GE，当t为多少时，GE=BE，此时NF与BC的位置关系是什么？

Answer 1

分析 （1）当t=0时，根据正方形的判定和性质，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式进行解答即可；
（3）根据平行四边形的判定和性质解答即可．

解答 解：（1）当t=0时，可得点N与点A重合，连接DE，

∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠ABD=45°，
∵AM⊥BD，
∴∠BAE=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BE=AB，
∴四边形ABED是正方形，
∴DE⊥BC，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=DC，
∴∠C=45°，
∴∠CDE=45°，∠BDC=90°，
∵EF⊥CD，
∴DF=EF，∠DEF=∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠EDF=∠BED+∠DEF，即∠ADF=∠BEF，
∵AD=BE，
在△ADF与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BE}\\{∠ADF=∠BEF}\\{DF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BEF，
∴∠AFD=∠BFE，易得∠HEF=90°，
∵DF=EF，∠CDB=∠HEF=90°，△FDG≌△FEH，
∴GF=HF；
（2）因为△NBE与△EFC是等腰直角三角形，∠NEF=90°，
∵S_△NEF=$\frac{1}{2}$NE•EF，由题意可知：AN=tcm，
∴BE=BN=（4-t）cm，NE=$\sqrt{2}（4-t）$cm，EC=BC-BE=（4+t）cm，
∴EF=$\frac{4+t}{\sqrt{2}}$cm，
∴${S}_{△NEF}=\frac{1}{2}NE•EF=\frac{1}{2}×\sqrt{2}（4-t）•\frac{4+t}{\sqrt{2}}=6$，
解得：t=-2（舍去）或t=2，
∴当t=2时，△NEF的面积为6cm²，；
（3）当GE=BE时，
∵NE⊥BD，
∴BM=GM，
∵BE=BN，
∴NM=ME，
∴四边形BEGN是平行四边形，
∴NF∥BC，
∵∠FEC=45°，
∴∠NFE=45°，
∴NE=EF，即$\sqrt{2}（4-t）=\frac{4+t}{\sqrt{2}}$，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴当t为$\frac{4}{3}$时，GE=BE，此时NF与BC的位置关系是平行．

点评 本题考查了四边形综合题，关键是根据平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的运用解答，并且根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式进行解答．