Question

12．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}t+30（1≤t≤24，t为整数）}\\{-\frac{1}{2}t+48（25≤t≤48，t为整数）}\end{array}\right.$，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

时间t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日销售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设y=kt+b，利用待定系数法即可解决问题．
（2）日利润=日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
（3）列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．

解答 解：（1）设y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=118}\\{3k+b=114}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=120}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+120．
将t=30代入上式，得：y=-2×30+120=60．
所以在第30天的日销售量是60kg．

（2）设第x天的销售利润为w元．
当1≤t≤24时，由题意w=（-2t+120）（$\frac{1}{4}$t+30-20）=-$\frac{1}{2}$（t-10）²+1250，
∴t=10时 w最大值为1250元．
当25≤t≤48时，w=（-2t+120）（-$\frac{1}{2}$t+48-20）=t²-116t+3360，
∵对称轴t=58，a=1＞0，
∴在对称轴左侧w随x增大而减小，
∴t=25时，w最大值=1085，
综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．
由题意m=（-2t+120）（$\frac{1}{4}$t+30-20）-（-2t+120）n=-$\frac{1}{2}$t²+（10+2n）t+1200-120n，
∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴-$\frac{10+2n}{2×（-\frac{1}{2}）}$＞23.5，（见图中提示）
∴n＞6.75．
又∵n＜9，
∴n的取值范围为6.75＜n＜9．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．