Question

11．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．

解答 解：（1）如图1，

∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；            
（2）DE=BD+CE．
如图2，

证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE            
（3）如图3，

过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI=GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GIH=∠EIM（对顶角相等）}\\{EM=GN}\\{∠GHI=∠EMI}\end{array}\right.$，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI
∴I是EG的中点

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．