Question

已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，
①如图1，当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，求一次函数y=x+1的图象的“伴侣正方形”的边长．
②如图2，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，则一次函数y=x+1的图象的“伴侣正方形”的边长为

 

（2）如图3，若某函数是反比例函数y=

k

x

（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①由ABCD为正方形，得到AB与CD平行，根据直线y=x+1的斜率为1，得到∠BAO=∠ABO=45°，而∠BAC=45°，得到C在x轴上，同理得到D在y轴上，即C、D分别为直线y=x+1与x轴，y轴的交点，确定出C与D坐标，进而求出CD的长，即为所求的“伴侣正方形”的边长；
②同上得到OA=OB，设直线y=x+1与x轴交于E点，求出E坐标，根据题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，过D作DH⊥x轴于H点，则有△DHA≌△AOB，得到DH=AH=OA=OB，由OA+AH+HE=OE=1，求出OA与OB的长，进而求出AB的长，即为所求“伴侣正方形”的边长；
（2）过D作DM⊥x轴于点M，过C作CN⊥y轴于点N，由ABCD为正方形，得到△CNB≌△BOA≌△AMD，进而由D坐标得到BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，表示出C坐标，根据C、D都在反比例函数图象上，利用反比例函数的性质求出m的值即可．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∵C，D在直线y=x+1上，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，
∴点C在x轴上，
同理D在y轴上，
∴C、D分别为直线y=x+1与x轴，y轴的交点，
∴C（-1，0），D（0，1），CD=

2

，
则所求的“伴侣正方形”的边长为

2

；
②同上，可得OA=OB，设直线y=x+1与x轴交于点E，则E（-1，0），且△ADE为等腰直角三角形，
过D作DH⊥x轴于H点，则有△DHA≌△AOB，
∴DH=AH=OB=OA，
∵OA+AH+EH=OE=1，
∴OA=OB=

1

3

，
∴AB=

2

OA=

2

3

，
则所求的“伴侣正方形”边长为

2

3

；
故答案为：

2

3

；
（2）过D作DM⊥x轴于点M，过C作CN⊥y轴于点N，
∵ABCD为正方形，
∴△CNB≌△BOA≌△AMD，
∵D（2，m），
∴BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，
∴C（2-m，2），
∵C（2-m，2），D（2，m）均在反比例函数图象上，
∴2（2-m）=2m，
解得：m=1．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，弄清“伴侣正方形”的意义是解本题的关键．