题目内容

已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE．
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；
（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角，如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M旋转α（0°≤α≤90°）角，作DH⊥BC于点H．设BH=x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB=6，DE=2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形，则在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的长，即可求得数量关系，利用三线合一定理即可证得位置关系；
（2）连接DM，AM，然后证明△ADM∽△BEM，然后延长BE交AM于点G，交AD于点K，证得∠MAD=∠MBE，∠BGM=∠AGK，即可证得垂直关系；
（3）分当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角和当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，两种情况进行讨论，根据△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，以及面积的和差即可求得函数的解析式．
解答：解：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形（如图1），
设DG=HE=x，
在直角△ADG中，AD=
DG
sin30°
=2x，
在直角△BEH中，BE=
HE
sin60°
=
2x
3
，
则
AD
BE
=
3
．
连接AM、DM，则AM⊥BC于点M，同理DM⊥BC于点M．
则AM和DM重合，
则AD⊥BE；

（2）证明：连接DM，AM．
在等边三角形ABC中，M为BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=
1
2
∠BAC=30°，
AM
BM
=
3
．
∴∠BME+∠EMA=90°．
同理，
DM
EM
=
3
，∠AMD+∠EMA=90°．
∴
AM
BM
=
DM
EM
，∠AMD=∠BME．
∴△ADM∽△BEM．
∴
AD
BE
=
DM
EM
=
3
．
延长BE交AM于点G，交AD于点K，过点D作DH⊥BC于点H．
∴∠MAD=∠MBE，∠BGM=∠AGK．
∴∠GKA=∠AMB=90°．
∴AD⊥BE．

（3）解：（ⅰ）当△DEF绕点M顺时针旋转α（0°≤α≤90°）角时，（如图2），
∵△ADM∽△BEM，
∴
S△ADM
S△BEM
=（
AD
BE
）2=3．
∴S△BEM=
1
3
S△ADM
∴S=S△ABM+S△ADM-S△BEM-S△DEM
=S△ABM+
2
3
S△ADM-S△DEM
=
1
2
×3×3
3
+
2
3
×
1
2
×3
3
（x-3）-
1
2
×1×
3

=
3
x+
3
．
∴s=
3
x+
3
 （3≤x≤3+
3
）．
（ⅱ） 当△DEF绕点M逆时针旋转α（0°≤α≤90°）角时（如图3），同理△ADM∽△BEM，
∴
S△BEM
S△ADM
=（
BM
AM
）2=
1
3
．
∴S△BEM=
1
3
S△ADM．
∴s=S△ABM+S△BEM-S△ADM-S△DEM
=S△ABM-
2
3
S△ADM-S△DEM
=
9
3
2
-
2
3
×
1
2
×3
3
（3-x）+
3
2

=
3
x+
3
．
∴s=
3
x+
3
（3-
3
≤x≤3）．
综上，s=
3
x+
3
（3-
3
≤x≤3+
3
）．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，求得函数的解析式是关键．
练习册系列答案
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某商场招募员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过计算机技能、语言表达和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表：
应试者计算机技能语言表达商品知识
甲809070
乙708090
丙907080
（1）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机技能、语言表达和商品知识分别赋权2、3、5，计算这三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？
（2）若商场需要招聘电脑收银员，计算机技能、语言表达和商品知识成绩分别占50%、30%、20%，计算这三名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？
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①如图1，当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，求一次函数y=x+1的图象的“伴侣正方形”的边长．
②如图2，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，则一次函数y=x+1的图象的“伴侣正方形”的边长为
 

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k
x
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（1）求k、b的值；
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（1）当a=
 
时，代数式2a+5的值为3；
（2）等边三角形有
 
条对称轴．
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．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，点P是线段AD上一动点，点F是线段AB上一动点，连接PE、PF，则PE+PF的最小值是
 
．
计算：（-
1
3
）×3=
 
．
已知
a-3
+|b+3|=0，则（a-b）2=
 
．

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