Question

7．如图（1），四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足．
（1）求证：AM=CN；
（2）如图（2），在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质证得△AMD≌△CNB，从而根据全等三角形对应边相等证得结论即可；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形证得结论即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴∠AMD=∠CNB=90°，
在△AMD和△CNB中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠CEN}\\{∠AMD=∠CNB}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CNB．     
∴AM=CN．             

（2）猜想：当EF=AC时，四边形AECF是矩形．
证明：由（1）得△AMD≌△CNB，
∴DM=BN．
∵BE=DF，
∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．                 
在△AMF和△CNE中$\left\{\begin{array}{l}{MF=NE}\\{∠AMF=∠CNE}\\{AM=CN}\end{array}\right.$  
∴△AMF≌△CNE．
∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．   
∴AF∥CE且AF=CE．
即四边形AECF是平行四边形．
又EF=AC，
∴四边形AMCN是矩形．

点评 本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，一般情况下，证明边相等，就利用边所在的三角形全等证明．